已知a ,b, c >0且a2+b2=c2 求证，an+bn<cn（n>=3且属于正实数)

证:
∵a^2+b^2=c^2,
∴0<a<c,0<b<c
a^n+b^n=a^2*a^(n-2)+b^2*b^(n-2)
<a^2*c^(n-2)+b^2*c^(n-2)
=c^(n-2)[a^2+b^2]
=c^(n-2)*c^2
=c^n
即
c^n>a^n+b^n

三角代换最佳。
根据条件可以如下换元：
设a=ccosα,b=csinα ,α是锐角。
那么0<cosα,sinα<1, (cosα)^n<(cosα)^2, (sinα)^n<(sinα)^2

从而a^n+b^n=c^n[(cosα)^n+(sinα)^n]<c^n[(cosα)^2+(sinα)^2]=c^n